3.211 \(\int \tanh ^2(x) \sqrt {a+b \tanh ^2(x)} \, dx\)

Optimal. Leaf size=85 \[ -\frac {1}{2} \tanh (x) \sqrt {a+b \tanh ^2(x)}-\frac {(a+2 b) \tanh ^{-1}\left (\frac {\sqrt {b} \tanh (x)}{\sqrt {a+b \tanh ^2(x)}}\right )}{2 \sqrt {b}}+\sqrt {a+b} \tanh ^{-1}\left (\frac {\sqrt {a+b} \tanh (x)}{\sqrt {a+b \tanh ^2(x)}}\right ) \]

[Out]

-1/2*(a+2*b)*arctanh(b^(1/2)*tanh(x)/(a+b*tanh(x)^2)^(1/2))/b^(1/2)+arctanh((a+b)^(1/2)*tanh(x)/(a+b*tanh(x)^2
)^(1/2))*(a+b)^(1/2)-1/2*(a+b*tanh(x)^2)^(1/2)*tanh(x)

________________________________________________________________________________________

Rubi [A]  time = 0.12, antiderivative size = 85, normalized size of antiderivative = 1.00, number of steps used = 7, number of rules used = 6, integrand size = 17, \(\frac {\text {number of rules}}{\text {integrand size}}\) = 0.353, Rules used = {3670, 478, 523, 217, 206, 377} \[ -\frac {(a+2 b) \tanh ^{-1}\left (\frac {\sqrt {b} \tanh (x)}{\sqrt {a+b \tanh ^2(x)}}\right )}{2 \sqrt {b}}+\sqrt {a+b} \tanh ^{-1}\left (\frac {\sqrt {a+b} \tanh (x)}{\sqrt {a+b \tanh ^2(x)}}\right )-\frac {1}{2} \tanh (x) \sqrt {a+b \tanh ^2(x)} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Int[Tanh[x]^2*Sqrt[a + b*Tanh[x]^2],x]

[Out]

-((a + 2*b)*ArcTanh[(Sqrt[b]*Tanh[x])/Sqrt[a + b*Tanh[x]^2]])/(2*Sqrt[b]) + Sqrt[a + b]*ArcTanh[(Sqrt[a + b]*T
anh[x])/Sqrt[a + b*Tanh[x]^2]] - (Tanh[x]*Sqrt[a + b*Tanh[x]^2])/2

Rule 206

Int[((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(-1), x_Symbol] :> Simp[(1*ArcTanh[(Rt[-b, 2]*x)/Rt[a, 2]])/(Rt[a, 2]*Rt[-b, 2]), x]
/; FreeQ[{a, b}, x] && NegQ[a/b] && (GtQ[a, 0] || LtQ[b, 0])

Rule 217

Int[1/Sqrt[(a_) + (b_.)*(x_)^2], x_Symbol] :> Subst[Int[1/(1 - b*x^2), x], x, x/Sqrt[a + b*x^2]] /; FreeQ[{a,
b}, x] &&  !GtQ[a, 0]

Rule 377

Int[((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_)/((c_) + (d_.)*(x_)^(n_)), x_Symbol] :> Subst[Int[1/(c - (b*c - a*d)*x^n), x]
, x, x/(a + b*x^n)^(1/n)] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && EqQ[n*p + 1, 0] && IntegerQ[n]

Rule 478

Int[((e_.)*(x_))^(m_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_)*((c_) + (d_.)*(x_)^(n_))^(q_), x_Symbol] :> Simp[(e^(n -
1)*(e*x)^(m - n + 1)*(a + b*x^n)^(p + 1)*(c + d*x^n)^q)/(b*(m + n*(p + q) + 1)), x] - Dist[e^n/(b*(m + n*(p +
q) + 1)), Int[(e*x)^(m - n)*(a + b*x^n)^p*(c + d*x^n)^(q - 1)*Simp[a*c*(m - n + 1) + (a*d*(m - n + 1) - n*q*(b
*c - a*d))*x^n, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, p}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && IGtQ[n, 0] && GtQ[q, 0] &&
GtQ[m - n + 1, 0] && IntBinomialQ[a, b, c, d, e, m, n, p, q, x]

Rule 523

Int[((e_) + (f_.)*(x_)^(n_))/(((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))*Sqrt[(c_) + (d_.)*(x_)^(n_)]), x_Symbol] :> Dist[f/b, I
nt[1/Sqrt[c + d*x^n], x], x] + Dist[(b*e - a*f)/b, Int[1/((a + b*x^n)*Sqrt[c + d*x^n]), x], x] /; FreeQ[{a, b,
c, d, e, f, n}, x]

Rule 3670

Int[((d_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_.)*((a_) + (b_.)*((c_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_))^(p_.), x_Symbol]
:> With[{ff = FreeFactors[Tan[e + f*x], x]}, Dist[(c*ff)/f, Subst[Int[(((d*ff*x)/c)^m*(a + b*(ff*x)^n)^p)/(c^
2 + ff^2*x^2), x], x, (c*Tan[e + f*x])/ff], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m, n, p}, x] && (IGtQ[p, 0] || EqQ
[n, 2] || EqQ[n, 4] || (IntegerQ[p] && RationalQ[n]))

Rubi steps

\begin {align*} \int \tanh ^2(x) \sqrt {a+b \tanh ^2(x)} \, dx &=\operatorname {Subst}\left (\int \frac {x^2 \sqrt {a+b x^2}}{1-x^2} \, dx,x,\tanh (x)\right )\\ &=-\frac {1}{2} \tanh (x) \sqrt {a+b \tanh ^2(x)}+\frac {1}{2} \operatorname {Subst}\left (\int \frac {a+(a+2 b) x^2}{\left (1-x^2\right ) \sqrt {a+b x^2}} \, dx,x,\tanh (x)\right )\\ &=-\frac {1}{2} \tanh (x) \sqrt {a+b \tanh ^2(x)}+\frac {1}{2} (-a-2 b) \operatorname {Subst}\left (\int \frac {1}{\sqrt {a+b x^2}} \, dx,x,\tanh (x)\right )+(a+b) \operatorname {Subst}\left (\int \frac {1}{\left (1-x^2\right ) \sqrt {a+b x^2}} \, dx,x,\tanh (x)\right )\\ &=-\frac {1}{2} \tanh (x) \sqrt {a+b \tanh ^2(x)}+\frac {1}{2} (-a-2 b) \operatorname {Subst}\left (\int \frac {1}{1-b x^2} \, dx,x,\frac {\tanh (x)}{\sqrt {a+b \tanh ^2(x)}}\right )+(a+b) \operatorname {Subst}\left (\int \frac {1}{1-(a+b) x^2} \, dx,x,\frac {\tanh (x)}{\sqrt {a+b \tanh ^2(x)}}\right )\\ &=-\frac {(a+2 b) \tanh ^{-1}\left (\frac {\sqrt {b} \tanh (x)}{\sqrt {a+b \tanh ^2(x)}}\right )}{2 \sqrt {b}}+\sqrt {a+b} \tanh ^{-1}\left (\frac {\sqrt {a+b} \tanh (x)}{\sqrt {a+b \tanh ^2(x)}}\right )-\frac {1}{2} \tanh (x) \sqrt {a+b \tanh ^2(x)}\\ \end {align*}

________________________________________________________________________________________

Mathematica [C]  time = 3.44, size = 193, normalized size = 2.27 \[ \frac {\tanh (x) \left (-\left (\text {sech}^2(x) ((a+b) \cosh (2 x)+a-b)\right )+\sqrt {2} a \sqrt {\frac {\text {csch}^2(x) ((a+b) \cosh (2 x)+a-b)}{b}} F\left (\left .\sin ^{-1}\left (\frac {\sqrt {\frac {(a-b+(a+b) \cosh (2 x)) \text {csch}^2(x)}{b}}}{\sqrt {2}}\right )\right |1\right )-2 \sqrt {2} a \sqrt {\frac {\text {csch}^2(x) ((a+b) \cosh (2 x)+a-b)}{b}} \Pi \left (\frac {b}{a+b};\left .\sin ^{-1}\left (\frac {\sqrt {\frac {(a-b+(a+b) \cosh (2 x)) \text {csch}^2(x)}{b}}}{\sqrt {2}}\right )\right |1\right )\right )}{2 \sqrt {2} \sqrt {\text {sech}^2(x) ((a+b) \cosh (2 x)+a-b)}} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Integrate[Tanh[x]^2*Sqrt[a + b*Tanh[x]^2],x]

[Out]

((Sqrt[2]*a*Sqrt[((a - b + (a + b)*Cosh[2*x])*Csch[x]^2)/b]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[((a - b + (a + b)*Cosh[2*x])
*Csch[x]^2)/b]/Sqrt[2]], 1] - 2*Sqrt[2]*a*Sqrt[((a - b + (a + b)*Cosh[2*x])*Csch[x]^2)/b]*EllipticPi[b/(a + b)
, ArcSin[Sqrt[((a - b + (a + b)*Cosh[2*x])*Csch[x]^2)/b]/Sqrt[2]], 1] - (a - b + (a + b)*Cosh[2*x])*Sech[x]^2)
*Tanh[x])/(2*Sqrt[2]*Sqrt[(a - b + (a + b)*Cosh[2*x])*Sech[x]^2])

________________________________________________________________________________________

fricas [B]  time = 0.68, size = 4825, normalized size = 56.76 \[ \text {result too large to display} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((a+b*tanh(x)^2)^(1/2)*tanh(x)^2,x, algorithm="fricas")

[Out]

[1/4*((b*cosh(x)^4 + 4*b*cosh(x)*sinh(x)^3 + b*sinh(x)^4 + 2*b*cosh(x)^2 + 2*(3*b*cosh(x)^2 + b)*sinh(x)^2 + 4
*(b*cosh(x)^3 + b*cosh(x))*sinh(x) + b)*sqrt(a + b)*log(-((a*b^2 + b^3)*cosh(x)^8 + 8*(a*b^2 + b^3)*cosh(x)*si
nh(x)^7 + (a*b^2 + b^3)*sinh(x)^8 - 2*(a*b^2 + 2*b^3)*cosh(x)^6 - 2*(a*b^2 + 2*b^3 - 14*(a*b^2 + b^3)*cosh(x)^
2)*sinh(x)^6 + 4*(14*(a*b^2 + b^3)*cosh(x)^3 - 3*(a*b^2 + 2*b^3)*cosh(x))*sinh(x)^5 + (a^3 - a^2*b + 4*a*b^2 +
6*b^3)*cosh(x)^4 + (70*(a*b^2 + b^3)*cosh(x)^4 + a^3 - a^2*b + 4*a*b^2 + 6*b^3 - 30*(a*b^2 + 2*b^3)*cosh(x)^2
)*sinh(x)^4 + 4*(14*(a*b^2 + b^3)*cosh(x)^5 - 10*(a*b^2 + 2*b^3)*cosh(x)^3 + (a^3 - a^2*b + 4*a*b^2 + 6*b^3)*c
osh(x))*sinh(x)^3 + a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3 + 2*(a^3 - 3*a*b^2 - 2*b^3)*cosh(x)^2 + 2*(14*(a*b^2 + b^3)*
cosh(x)^6 - 15*(a*b^2 + 2*b^3)*cosh(x)^4 + a^3 - 3*a*b^2 - 2*b^3 + 3*(a^3 - a^2*b + 4*a*b^2 + 6*b^3)*cosh(x)^2
)*sinh(x)^2 + sqrt(2)*(b^2*cosh(x)^6 + 6*b^2*cosh(x)*sinh(x)^5 + b^2*sinh(x)^6 - 3*b^2*cosh(x)^4 + 3*(5*b^2*co
sh(x)^2 - b^2)*sinh(x)^4 + 4*(5*b^2*cosh(x)^3 - 3*b^2*cosh(x))*sinh(x)^3 - (a^2 - 2*a*b - 3*b^2)*cosh(x)^2 + (
15*b^2*cosh(x)^4 - 18*b^2*cosh(x)^2 - a^2 + 2*a*b + 3*b^2)*sinh(x)^2 - a^2 - 2*a*b - b^2 + 2*(3*b^2*cosh(x)^5
- 6*b^2*cosh(x)^3 - (a^2 - 2*a*b - 3*b^2)*cosh(x))*sinh(x))*sqrt(a + b)*sqrt(((a + b)*cosh(x)^2 + (a + b)*sinh
(x)^2 + a - b)/(cosh(x)^2 - 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2)) + 4*(2*(a*b^2 + b^3)*cosh(x)^7 - 3*(a*b^2 + 2*b^3)
*cosh(x)^5 + (a^3 - a^2*b + 4*a*b^2 + 6*b^3)*cosh(x)^3 + (a^3 - 3*a*b^2 - 2*b^3)*cosh(x))*sinh(x))/(cosh(x)^6
+ 6*cosh(x)^5*sinh(x) + 15*cosh(x)^4*sinh(x)^2 + 20*cosh(x)^3*sinh(x)^3 + 15*cosh(x)^2*sinh(x)^4 + 6*cosh(x)*s
inh(x)^5 + sinh(x)^6)) + ((a + 2*b)*cosh(x)^4 + 4*(a + 2*b)*cosh(x)*sinh(x)^3 + (a + 2*b)*sinh(x)^4 + 2*(a + 2
*b)*cosh(x)^2 + 2*(3*(a + 2*b)*cosh(x)^2 + a + 2*b)*sinh(x)^2 + 4*((a + 2*b)*cosh(x)^3 + (a + 2*b)*cosh(x))*si
nh(x) + a + 2*b)*sqrt(b)*log(-((a + 2*b)*cosh(x)^4 + 4*(a + 2*b)*cosh(x)*sinh(x)^3 + (a + 2*b)*sinh(x)^4 + 2*(
a - 2*b)*cosh(x)^2 + 2*(3*(a + 2*b)*cosh(x)^2 + a - 2*b)*sinh(x)^2 - 2*sqrt(2)*(cosh(x)^2 + 2*cosh(x)*sinh(x)
+ sinh(x)^2 - 1)*sqrt(b)*sqrt(((a + b)*cosh(x)^2 + (a + b)*sinh(x)^2 + a - b)/(cosh(x)^2 - 2*cosh(x)*sinh(x) +
sinh(x)^2)) + 4*((a + 2*b)*cosh(x)^3 + (a - 2*b)*cosh(x))*sinh(x) + a + 2*b)/(cosh(x)^4 + 4*cosh(x)*sinh(x)^3
+ sinh(x)^4 + 2*(3*cosh(x)^2 + 1)*sinh(x)^2 + 2*cosh(x)^2 + 4*(cosh(x)^3 + cosh(x))*sinh(x) + 1)) + (b*cosh(x
)^4 + 4*b*cosh(x)*sinh(x)^3 + b*sinh(x)^4 + 2*b*cosh(x)^2 + 2*(3*b*cosh(x)^2 + b)*sinh(x)^2 + 4*(b*cosh(x)^3 +
b*cosh(x))*sinh(x) + b)*sqrt(a + b)*log(((a + b)*cosh(x)^4 + 4*(a + b)*cosh(x)*sinh(x)^3 + (a + b)*sinh(x)^4
+ 2*a*cosh(x)^2 + 2*(3*(a + b)*cosh(x)^2 + a)*sinh(x)^2 + sqrt(2)*(cosh(x)^2 + 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2 +
1)*sqrt(a + b)*sqrt(((a + b)*cosh(x)^2 + (a + b)*sinh(x)^2 + a - b)/(cosh(x)^2 - 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^
2)) + 4*((a + b)*cosh(x)^3 + a*cosh(x))*sinh(x) + a + b)/(cosh(x)^2 + 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2)) - 2*sqrt
(2)*(b*cosh(x)^2 + 2*b*cosh(x)*sinh(x) + b*sinh(x)^2 - b)*sqrt(((a + b)*cosh(x)^2 + (a + b)*sinh(x)^2 + a - b)
/(cosh(x)^2 - 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2)))/(b*cosh(x)^4 + 4*b*cosh(x)*sinh(x)^3 + b*sinh(x)^4 + 2*b*cosh(x
)^2 + 2*(3*b*cosh(x)^2 + b)*sinh(x)^2 + 4*(b*cosh(x)^3 + b*cosh(x))*sinh(x) + b), 1/4*(2*((a + 2*b)*cosh(x)^4
+ 4*(a + 2*b)*cosh(x)*sinh(x)^3 + (a + 2*b)*sinh(x)^4 + 2*(a + 2*b)*cosh(x)^2 + 2*(3*(a + 2*b)*cosh(x)^2 + a +
2*b)*sinh(x)^2 + 4*((a + 2*b)*cosh(x)^3 + (a + 2*b)*cosh(x))*sinh(x) + a + 2*b)*sqrt(-b)*arctan(sqrt(2)*(cosh
(x)^2 + 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2 - 1)*sqrt(-b)*sqrt(((a + b)*cosh(x)^2 + (a + b)*sinh(x)^2 + a - b)/(cosh
(x)^2 - 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2))/((a + b)*cosh(x)^4 + 4*(a + b)*cosh(x)*sinh(x)^3 + (a + b)*sinh(x)^4 +
2*(a - b)*cosh(x)^2 + 2*(3*(a + b)*cosh(x)^2 + a - b)*sinh(x)^2 + 4*((a + b)*cosh(x)^3 + (a - b)*cosh(x))*sin
h(x) + a + b)) + (b*cosh(x)^4 + 4*b*cosh(x)*sinh(x)^3 + b*sinh(x)^4 + 2*b*cosh(x)^2 + 2*(3*b*cosh(x)^2 + b)*si
nh(x)^2 + 4*(b*cosh(x)^3 + b*cosh(x))*sinh(x) + b)*sqrt(a + b)*log(-((a*b^2 + b^3)*cosh(x)^8 + 8*(a*b^2 + b^3)
*cosh(x)*sinh(x)^7 + (a*b^2 + b^3)*sinh(x)^8 - 2*(a*b^2 + 2*b^3)*cosh(x)^6 - 2*(a*b^2 + 2*b^3 - 14*(a*b^2 + b^
3)*cosh(x)^2)*sinh(x)^6 + 4*(14*(a*b^2 + b^3)*cosh(x)^3 - 3*(a*b^2 + 2*b^3)*cosh(x))*sinh(x)^5 + (a^3 - a^2*b
+ 4*a*b^2 + 6*b^3)*cosh(x)^4 + (70*(a*b^2 + b^3)*cosh(x)^4 + a^3 - a^2*b + 4*a*b^2 + 6*b^3 - 30*(a*b^2 + 2*b^3
)*cosh(x)^2)*sinh(x)^4 + 4*(14*(a*b^2 + b^3)*cosh(x)^5 - 10*(a*b^2 + 2*b^3)*cosh(x)^3 + (a^3 - a^2*b + 4*a*b^2
+ 6*b^3)*cosh(x))*sinh(x)^3 + a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3 + 2*(a^3 - 3*a*b^2 - 2*b^3)*cosh(x)^2 + 2*(14*(a*
b^2 + b^3)*cosh(x)^6 - 15*(a*b^2 + 2*b^3)*cosh(x)^4 + a^3 - 3*a*b^2 - 2*b^3 + 3*(a^3 - a^2*b + 4*a*b^2 + 6*b^3
)*cosh(x)^2)*sinh(x)^2 + sqrt(2)*(b^2*cosh(x)^6 + 6*b^2*cosh(x)*sinh(x)^5 + b^2*sinh(x)^6 - 3*b^2*cosh(x)^4 +
3*(5*b^2*cosh(x)^2 - b^2)*sinh(x)^4 + 4*(5*b^2*cosh(x)^3 - 3*b^2*cosh(x))*sinh(x)^3 - (a^2 - 2*a*b - 3*b^2)*co
sh(x)^2 + (15*b^2*cosh(x)^4 - 18*b^2*cosh(x)^2 - a^2 + 2*a*b + 3*b^2)*sinh(x)^2 - a^2 - 2*a*b - b^2 + 2*(3*b^2
*cosh(x)^5 - 6*b^2*cosh(x)^3 - (a^2 - 2*a*b - 3*b^2)*cosh(x))*sinh(x))*sqrt(a + b)*sqrt(((a + b)*cosh(x)^2 + (
a + b)*sinh(x)^2 + a - b)/(cosh(x)^2 - 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2)) + 4*(2*(a*b^2 + b^3)*cosh(x)^7 - 3*(a*b
^2 + 2*b^3)*cosh(x)^5 + (a^3 - a^2*b + 4*a*b^2 + 6*b^3)*cosh(x)^3 + (a^3 - 3*a*b^2 - 2*b^3)*cosh(x))*sinh(x))/
(cosh(x)^6 + 6*cosh(x)^5*sinh(x) + 15*cosh(x)^4*sinh(x)^2 + 20*cosh(x)^3*sinh(x)^3 + 15*cosh(x)^2*sinh(x)^4 +
6*cosh(x)*sinh(x)^5 + sinh(x)^6)) + (b*cosh(x)^4 + 4*b*cosh(x)*sinh(x)^3 + b*sinh(x)^4 + 2*b*cosh(x)^2 + 2*(3*
b*cosh(x)^2 + b)*sinh(x)^2 + 4*(b*cosh(x)^3 + b*cosh(x))*sinh(x) + b)*sqrt(a + b)*log(((a + b)*cosh(x)^4 + 4*(
a + b)*cosh(x)*sinh(x)^3 + (a + b)*sinh(x)^4 + 2*a*cosh(x)^2 + 2*(3*(a + b)*cosh(x)^2 + a)*sinh(x)^2 + sqrt(2)
*(cosh(x)^2 + 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2 + 1)*sqrt(a + b)*sqrt(((a + b)*cosh(x)^2 + (a + b)*sinh(x)^2 + a -
b)/(cosh(x)^2 - 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2)) + 4*((a + b)*cosh(x)^3 + a*cosh(x))*sinh(x) + a + b)/(cosh(x)
^2 + 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2)) - 2*sqrt(2)*(b*cosh(x)^2 + 2*b*cosh(x)*sinh(x) + b*sinh(x)^2 - b)*sqrt(((
a + b)*cosh(x)^2 + (a + b)*sinh(x)^2 + a - b)/(cosh(x)^2 - 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2)))/(b*cosh(x)^4 + 4*b
*cosh(x)*sinh(x)^3 + b*sinh(x)^4 + 2*b*cosh(x)^2 + 2*(3*b*cosh(x)^2 + b)*sinh(x)^2 + 4*(b*cosh(x)^3 + b*cosh(x
))*sinh(x) + b), -1/4*(2*(b*cosh(x)^4 + 4*b*cosh(x)*sinh(x)^3 + b*sinh(x)^4 + 2*b*cosh(x)^2 + 2*(3*b*cosh(x)^2
+ b)*sinh(x)^2 + 4*(b*cosh(x)^3 + b*cosh(x))*sinh(x) + b)*sqrt(-a - b)*arctan(sqrt(2)*(b*cosh(x)^2 + 2*b*cosh
(x)*sinh(x) + b*sinh(x)^2 - a - b)*sqrt(-a - b)*sqrt(((a + b)*cosh(x)^2 + (a + b)*sinh(x)^2 + a - b)/(cosh(x)^
2 - 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2))/((a*b + b^2)*cosh(x)^4 + 4*(a*b + b^2)*cosh(x)*sinh(x)^3 + (a*b + b^2)*sin
h(x)^4 + (a^2 - a*b - 2*b^2)*cosh(x)^2 + (6*(a*b + b^2)*cosh(x)^2 + a^2 - a*b - 2*b^2)*sinh(x)^2 + a^2 + 2*a*b
+ b^2 + 2*(2*(a*b + b^2)*cosh(x)^3 + (a^2 - a*b - 2*b^2)*cosh(x))*sinh(x))) + 2*(b*cosh(x)^4 + 4*b*cosh(x)*si
nh(x)^3 + b*sinh(x)^4 + 2*b*cosh(x)^2 + 2*(3*b*cosh(x)^2 + b)*sinh(x)^2 + 4*(b*cosh(x)^3 + b*cosh(x))*sinh(x)
+ b)*sqrt(-a - b)*arctan(sqrt(2)*(cosh(x)^2 + 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2 + 1)*sqrt(-a - b)*sqrt(((a + b)*co
sh(x)^2 + (a + b)*sinh(x)^2 + a - b)/(cosh(x)^2 - 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2))/((a + b)*cosh(x)^4 + 4*(a +
b)*cosh(x)*sinh(x)^3 + (a + b)*sinh(x)^4 + 2*(a - b)*cosh(x)^2 + 2*(3*(a + b)*cosh(x)^2 + a - b)*sinh(x)^2 + 4
*((a + b)*cosh(x)^3 + (a - b)*cosh(x))*sinh(x) + a + b)) - ((a + 2*b)*cosh(x)^4 + 4*(a + 2*b)*cosh(x)*sinh(x)^
3 + (a + 2*b)*sinh(x)^4 + 2*(a + 2*b)*cosh(x)^2 + 2*(3*(a + 2*b)*cosh(x)^2 + a + 2*b)*sinh(x)^2 + 4*((a + 2*b)
*cosh(x)^3 + (a + 2*b)*cosh(x))*sinh(x) + a + 2*b)*sqrt(b)*log(-((a + 2*b)*cosh(x)^4 + 4*(a + 2*b)*cosh(x)*sin
h(x)^3 + (a + 2*b)*sinh(x)^4 + 2*(a - 2*b)*cosh(x)^2 + 2*(3*(a + 2*b)*cosh(x)^2 + a - 2*b)*sinh(x)^2 - 2*sqrt(
2)*(cosh(x)^2 + 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2 - 1)*sqrt(b)*sqrt(((a + b)*cosh(x)^2 + (a + b)*sinh(x)^2 + a - b
)/(cosh(x)^2 - 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2)) + 4*((a + 2*b)*cosh(x)^3 + (a - 2*b)*cosh(x))*sinh(x) + a + 2*b
)/(cosh(x)^4 + 4*cosh(x)*sinh(x)^3 + sinh(x)^4 + 2*(3*cosh(x)^2 + 1)*sinh(x)^2 + 2*cosh(x)^2 + 4*(cosh(x)^3 +
cosh(x))*sinh(x) + 1)) + 2*sqrt(2)*(b*cosh(x)^2 + 2*b*cosh(x)*sinh(x) + b*sinh(x)^2 - b)*sqrt(((a + b)*cosh(x)
^2 + (a + b)*sinh(x)^2 + a - b)/(cosh(x)^2 - 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2)))/(b*cosh(x)^4 + 4*b*cosh(x)*sinh(
x)^3 + b*sinh(x)^4 + 2*b*cosh(x)^2 + 2*(3*b*cosh(x)^2 + b)*sinh(x)^2 + 4*(b*cosh(x)^3 + b*cosh(x))*sinh(x) + b
), -1/2*((b*cosh(x)^4 + 4*b*cosh(x)*sinh(x)^3 + b*sinh(x)^4 + 2*b*cosh(x)^2 + 2*(3*b*cosh(x)^2 + b)*sinh(x)^2
+ 4*(b*cosh(x)^3 + b*cosh(x))*sinh(x) + b)*sqrt(-a - b)*arctan(sqrt(2)*(b*cosh(x)^2 + 2*b*cosh(x)*sinh(x) + b*
sinh(x)^2 - a - b)*sqrt(-a - b)*sqrt(((a + b)*cosh(x)^2 + (a + b)*sinh(x)^2 + a - b)/(cosh(x)^2 - 2*cosh(x)*si
nh(x) + sinh(x)^2))/((a*b + b^2)*cosh(x)^4 + 4*(a*b + b^2)*cosh(x)*sinh(x)^3 + (a*b + b^2)*sinh(x)^4 + (a^2 -
a*b - 2*b^2)*cosh(x)^2 + (6*(a*b + b^2)*cosh(x)^2 + a^2 - a*b - 2*b^2)*sinh(x)^2 + a^2 + 2*a*b + b^2 + 2*(2*(a
*b + b^2)*cosh(x)^3 + (a^2 - a*b - 2*b^2)*cosh(x))*sinh(x))) + (b*cosh(x)^4 + 4*b*cosh(x)*sinh(x)^3 + b*sinh(x
)^4 + 2*b*cosh(x)^2 + 2*(3*b*cosh(x)^2 + b)*sinh(x)^2 + 4*(b*cosh(x)^3 + b*cosh(x))*sinh(x) + b)*sqrt(-a - b)*
arctan(sqrt(2)*(cosh(x)^2 + 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2 + 1)*sqrt(-a - b)*sqrt(((a + b)*cosh(x)^2 + (a + b)*
sinh(x)^2 + a - b)/(cosh(x)^2 - 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2))/((a + b)*cosh(x)^4 + 4*(a + b)*cosh(x)*sinh(x)
^3 + (a + b)*sinh(x)^4 + 2*(a - b)*cosh(x)^2 + 2*(3*(a + b)*cosh(x)^2 + a - b)*sinh(x)^2 + 4*((a + b)*cosh(x)^
3 + (a - b)*cosh(x))*sinh(x) + a + b)) - ((a + 2*b)*cosh(x)^4 + 4*(a + 2*b)*cosh(x)*sinh(x)^3 + (a + 2*b)*sinh
(x)^4 + 2*(a + 2*b)*cosh(x)^2 + 2*(3*(a + 2*b)*cosh(x)^2 + a + 2*b)*sinh(x)^2 + 4*((a + 2*b)*cosh(x)^3 + (a +
2*b)*cosh(x))*sinh(x) + a + 2*b)*sqrt(-b)*arctan(sqrt(2)*(cosh(x)^2 + 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2 - 1)*sqrt(
-b)*sqrt(((a + b)*cosh(x)^2 + (a + b)*sinh(x)^2 + a - b)/(cosh(x)^2 - 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2))/((a + b)
*cosh(x)^4 + 4*(a + b)*cosh(x)*sinh(x)^3 + (a + b)*sinh(x)^4 + 2*(a - b)*cosh(x)^2 + 2*(3*(a + b)*cosh(x)^2 +
a - b)*sinh(x)^2 + 4*((a + b)*cosh(x)^3 + (a - b)*cosh(x))*sinh(x) + a + b)) + sqrt(2)*(b*cosh(x)^2 + 2*b*cosh
(x)*sinh(x) + b*sinh(x)^2 - b)*sqrt(((a + b)*cosh(x)^2 + (a + b)*sinh(x)^2 + a - b)/(cosh(x)^2 - 2*cosh(x)*sin
h(x) + sinh(x)^2)))/(b*cosh(x)^4 + 4*b*cosh(x)*sinh(x)^3 + b*sinh(x)^4 + 2*b*cosh(x)^2 + 2*(3*b*cosh(x)^2 + b)
*sinh(x)^2 + 4*(b*cosh(x)^3 + b*cosh(x))*sinh(x) + b)]

________________________________________________________________________________________

giac [B]  time = 1.74, size = 554, normalized size = 6.52 \[ -\frac {{\left (a + 2 \, b\right )} \arctan \left (-\frac {\sqrt {a + b} e^{\left (2 \, x\right )} - \sqrt {a e^{\left (4 \, x\right )} + b e^{\left (4 \, x\right )} + 2 \, a e^{\left (2 \, x\right )} - 2 \, b e^{\left (2 \, x\right )} + a + b} + \sqrt {a + b}}{2 \, \sqrt {-b}}\right )}{\sqrt {-b}} - \frac {1}{2} \, \sqrt {a + b} \log \left ({\left | -{\left (\sqrt {a + b} e^{\left (2 \, x\right )} - \sqrt {a e^{\left (4 \, x\right )} + b e^{\left (4 \, x\right )} + 2 \, a e^{\left (2 \, x\right )} - 2 \, b e^{\left (2 \, x\right )} + a + b}\right )} {\left (a + b\right )} - \sqrt {a + b} {\left (a - b\right )} \right |}\right ) - \frac {1}{2} \, \sqrt {a + b} \log \left ({\left | -\sqrt {a + b} e^{\left (2 \, x\right )} + \sqrt {a e^{\left (4 \, x\right )} + b e^{\left (4 \, x\right )} + 2 \, a e^{\left (2 \, x\right )} - 2 \, b e^{\left (2 \, x\right )} + a + b} + \sqrt {a + b} \right |}\right ) + \frac {1}{2} \, \sqrt {a + b} \log \left ({\left | -\sqrt {a + b} e^{\left (2 \, x\right )} + \sqrt {a e^{\left (4 \, x\right )} + b e^{\left (4 \, x\right )} + 2 \, a e^{\left (2 \, x\right )} - 2 \, b e^{\left (2 \, x\right )} + a + b} - \sqrt {a + b} \right |}\right ) - \frac {2 \, {\left ({\left (\sqrt {a + b} e^{\left (2 \, x\right )} - \sqrt {a e^{\left (4 \, x\right )} + b e^{\left (4 \, x\right )} + 2 \, a e^{\left (2 \, x\right )} - 2 \, b e^{\left (2 \, x\right )} + a + b}\right )}^{3} {\left (a + 2 \, b\right )} + {\left (\sqrt {a + b} e^{\left (2 \, x\right )} - \sqrt {a e^{\left (4 \, x\right )} + b e^{\left (4 \, x\right )} + 2 \, a e^{\left (2 \, x\right )} - 2 \, b e^{\left (2 \, x\right )} + a + b}\right )}^{2} {\left (3 \, a - 2 \, b\right )} \sqrt {a + b} + {\left (3 \, a^{2} - 3 \, a b - 2 \, b^{2}\right )} {\left (\sqrt {a + b} e^{\left (2 \, x\right )} - \sqrt {a e^{\left (4 \, x\right )} + b e^{\left (4 \, x\right )} + 2 \, a e^{\left (2 \, x\right )} - 2 \, b e^{\left (2 \, x\right )} + a + b}\right )} + {\left (a^{2} - a b + 2 \, b^{2}\right )} \sqrt {a + b}\right )}}{{\left ({\left (\sqrt {a + b} e^{\left (2 \, x\right )} - \sqrt {a e^{\left (4 \, x\right )} + b e^{\left (4 \, x\right )} + 2 \, a e^{\left (2 \, x\right )} - 2 \, b e^{\left (2 \, x\right )} + a + b}\right )}^{2} + 2 \, {\left (\sqrt {a + b} e^{\left (2 \, x\right )} - \sqrt {a e^{\left (4 \, x\right )} + b e^{\left (4 \, x\right )} + 2 \, a e^{\left (2 \, x\right )} - 2 \, b e^{\left (2 \, x\right )} + a + b}\right )} \sqrt {a + b} + a - 3 \, b\right )}^{2}} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((a+b*tanh(x)^2)^(1/2)*tanh(x)^2,x, algorithm="giac")

[Out]

-(a + 2*b)*arctan(-1/2*(sqrt(a + b)*e^(2*x) - sqrt(a*e^(4*x) + b*e^(4*x) + 2*a*e^(2*x) - 2*b*e^(2*x) + a + b)
+ sqrt(a + b))/sqrt(-b))/sqrt(-b) - 1/2*sqrt(a + b)*log(abs(-(sqrt(a + b)*e^(2*x) - sqrt(a*e^(4*x) + b*e^(4*x)
+ 2*a*e^(2*x) - 2*b*e^(2*x) + a + b))*(a + b) - sqrt(a + b)*(a - b))) - 1/2*sqrt(a + b)*log(abs(-sqrt(a + b)*
e^(2*x) + sqrt(a*e^(4*x) + b*e^(4*x) + 2*a*e^(2*x) - 2*b*e^(2*x) + a + b) + sqrt(a + b))) + 1/2*sqrt(a + b)*lo
g(abs(-sqrt(a + b)*e^(2*x) + sqrt(a*e^(4*x) + b*e^(4*x) + 2*a*e^(2*x) - 2*b*e^(2*x) + a + b) - sqrt(a + b))) -
2*((sqrt(a + b)*e^(2*x) - sqrt(a*e^(4*x) + b*e^(4*x) + 2*a*e^(2*x) - 2*b*e^(2*x) + a + b))^3*(a + 2*b) + (sqr
t(a + b)*e^(2*x) - sqrt(a*e^(4*x) + b*e^(4*x) + 2*a*e^(2*x) - 2*b*e^(2*x) + a + b))^2*(3*a - 2*b)*sqrt(a + b)
+ (3*a^2 - 3*a*b - 2*b^2)*(sqrt(a + b)*e^(2*x) - sqrt(a*e^(4*x) + b*e^(4*x) + 2*a*e^(2*x) - 2*b*e^(2*x) + a +
b)) + (a^2 - a*b + 2*b^2)*sqrt(a + b))/((sqrt(a + b)*e^(2*x) - sqrt(a*e^(4*x) + b*e^(4*x) + 2*a*e^(2*x) - 2*b*
e^(2*x) + a + b))^2 + 2*(sqrt(a + b)*e^(2*x) - sqrt(a*e^(4*x) + b*e^(4*x) + 2*a*e^(2*x) - 2*b*e^(2*x) + a + b)
)*sqrt(a + b) + a - 3*b)^2

________________________________________________________________________________________

maple [B]  time = 0.09, size = 276, normalized size = 3.25 \[ -\frac {\sqrt {a +b \left (\tanh ^{2}\relax (x )\right )}\, \tanh \relax (x )}{2}-\frac {a \ln \left (\sqrt {b}\, \tanh \relax (x )+\sqrt {a +b \left (\tanh ^{2}\relax (x )\right )}\right )}{2 \sqrt {b}}-\frac {\sqrt {\left (\tanh \relax (x )-1\right )^{2} b +2 \left (\tanh \relax (x )-1\right ) b +a +b}}{2}-\frac {\sqrt {b}\, \ln \left (\frac {\left (\tanh \relax (x )-1\right ) b +b}{\sqrt {b}}+\sqrt {\left (\tanh \relax (x )-1\right )^{2} b +2 \left (\tanh \relax (x )-1\right ) b +a +b}\right )}{2}+\frac {\sqrt {a +b}\, \ln \left (\frac {2 a +2 b +2 \left (\tanh \relax (x )-1\right ) b +2 \sqrt {a +b}\, \sqrt {\left (\tanh \relax (x )-1\right )^{2} b +2 \left (\tanh \relax (x )-1\right ) b +a +b}}{\tanh \relax (x )-1}\right )}{2}+\frac {\sqrt {\left (1+\tanh \relax (x )\right )^{2} b -2 \left (1+\tanh \relax (x )\right ) b +a +b}}{2}-\frac {\sqrt {b}\, \ln \left (\frac {\left (1+\tanh \relax (x )\right ) b -b}{\sqrt {b}}+\sqrt {\left (1+\tanh \relax (x )\right )^{2} b -2 \left (1+\tanh \relax (x )\right ) b +a +b}\right )}{2}-\frac {\sqrt {a +b}\, \ln \left (\frac {2 a +2 b -2 \left (1+\tanh \relax (x )\right ) b +2 \sqrt {a +b}\, \sqrt {\left (1+\tanh \relax (x )\right )^{2} b -2 \left (1+\tanh \relax (x )\right ) b +a +b}}{1+\tanh \relax (x )}\right )}{2} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int((a+b*tanh(x)^2)^(1/2)*tanh(x)^2,x)

[Out]

-1/2*(a+b*tanh(x)^2)^(1/2)*tanh(x)-1/2*a/b^(1/2)*ln(b^(1/2)*tanh(x)+(a+b*tanh(x)^2)^(1/2))-1/2*((tanh(x)-1)^2*
b+2*(tanh(x)-1)*b+a+b)^(1/2)-1/2*b^(1/2)*ln(((tanh(x)-1)*b+b)/b^(1/2)+((tanh(x)-1)^2*b+2*(tanh(x)-1)*b+a+b)^(1
/2))+1/2*(a+b)^(1/2)*ln((2*a+2*b+2*(tanh(x)-1)*b+2*(a+b)^(1/2)*((tanh(x)-1)^2*b+2*(tanh(x)-1)*b+a+b)^(1/2))/(t
anh(x)-1))+1/2*((1+tanh(x))^2*b-2*(1+tanh(x))*b+a+b)^(1/2)-1/2*b^(1/2)*ln(((1+tanh(x))*b-b)/b^(1/2)+((1+tanh(x
))^2*b-2*(1+tanh(x))*b+a+b)^(1/2))-1/2*(a+b)^(1/2)*ln((2*a+2*b-2*(1+tanh(x))*b+2*(a+b)^(1/2)*((1+tanh(x))^2*b-
2*(1+tanh(x))*b+a+b)^(1/2))/(1+tanh(x)))

________________________________________________________________________________________

maxima [F]  time = 0.00, size = 0, normalized size = 0.00 \[ \int \sqrt {b \tanh \relax (x)^{2} + a} \tanh \relax (x)^{2}\,{d x} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((a+b*tanh(x)^2)^(1/2)*tanh(x)^2,x, algorithm="maxima")

[Out]

integrate(sqrt(b*tanh(x)^2 + a)*tanh(x)^2, x)

________________________________________________________________________________________

mupad [F]  time = 0.00, size = -1, normalized size = -0.01 \[ \int {\mathrm {tanh}\relax (x)}^2\,\sqrt {b\,{\mathrm {tanh}\relax (x)}^2+a} \,d x \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int(tanh(x)^2*(a + b*tanh(x)^2)^(1/2),x)

[Out]

int(tanh(x)^2*(a + b*tanh(x)^2)^(1/2), x)

________________________________________________________________________________________

sympy [F]  time = 0.00, size = 0, normalized size = 0.00 \[ \int \sqrt {a + b \tanh ^{2}{\relax (x )}} \tanh ^{2}{\relax (x )}\, dx \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((a+b*tanh(x)**2)**(1/2)*tanh(x)**2,x)

[Out]

Integral(sqrt(a + b*tanh(x)**2)*tanh(x)**2, x)

________________________________________________________________________________________